使用MNIST數(shù)據(jù)集對0到9之間的數(shù)字進(jìn)行手寫數(shù)字識別是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)典型入門教程。

該技術(shù)在現(xiàn)實(shí)場景中是很有用的,比如可以把該技術(shù)用來掃描銀行轉(zhuǎn)帳單或支票,其中帳號和需要轉(zhuǎn)賬的金額可以被識別處理并寫在明確定義的方框中。

在本教程中,我們將介紹如何使用Julia編程語言和名為Flux的機(jī)器學(xué)習(xí)庫來實(shí)現(xiàn)這一技術(shù)。為什么使用Flux和Julia?本教程為什么想使用Flux(https://fluxml．a(chǎn)i/) 和Julia(https://julialang．org/) ,而不是像Torch、PyTorch、Keras或TensorFlow 2．0這樣的知名框架呢?一個(gè)很好的原因是因?yàn)镕lux更易于學(xué)習(xí),而且它提供更好的性能和擁有有更大的潛力,另外一個(gè)原因是,Flux在仍然是一個(gè)小庫的情況下實(shí)現(xiàn)了很多功能。Flux庫非常小,因?yàn)樗�所做的大部分工作都是由Julia編程語言本身提供的。例如,如果你查看Gorgonia ML庫(https://github．com/gorgonia/gorgonia) 中的Go編程語言,你將看到,它明確地展示了其他機(jī)器學(xué)習(xí)庫如何構(gòu)建一個(gè)需要執(zhí)行和區(qū)分的表達(dá)式圖。在Flux中,這個(gè)圖就是Julia本身。Julia與LISP非常相似,因?yàn)镴ulia代碼可以很容易地表示為數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),可以對其進(jìn)行修改和計(jì)算。機(jī)器學(xué)習(xí)概論如果你是機(jī)器學(xué)習(xí)的新手,你可以跟著本教程來學(xué)習(xí),但并不是所有的東西對你來說都是有價(jià)值的。你也可以看看我以前關(guān)于Medium的一些文章,它們可能會(huì)解釋你一些新手的疑惑:線性代數(shù)的核心思想。(https://medium．com/@Jernfrost/the-core-idea-of-linear-algebra-7405863d8c1d)線性代數(shù)基本上是關(guān)于向量和矩陣的,這是你在機(jī)器學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到的東西。使用引用。(https://medium．com/@Jernfrost/working-with-and-emulating-references-in-julia-e02c1cae5826)它看起來有點(diǎn)不太好理解,但是如果你想理解像Flux這樣的ML庫,那么理解Julia中的引用是很重要的。Flux的實(shí)現(xiàn)。(https://medium．com/@Jernfrost/implementation-of-a-modern-machine-learning-library-3596badf3be)如何實(shí)現(xiàn)Flux-ML庫的初學(xué)者指南。機(jī)器學(xué)習(xí)簡介。(https://medium．com/@Jernfrost/machine-learning-for-dummies-in-julia-6cd4d2e71a46) 機(jī)器學(xué)習(xí)概論。簡單多層感知機(jī)我們要編程的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)被稱為簡單的多層感知機(jī),這是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ANN)的基礎(chǔ),大多數(shù)教科書都會(huì)從它開始。我先展示整個(gè)程序,然后我們再更詳細(xì)地講解不同的部分。using Flux, Flux．Data．MNIST, Statistics
using Flux: onehotbatch, onecold, crossentropy, throttle
using Base．Iterators: repeated
# Load training data． 28x28 grayscale images of digits
imgs = MNIST．images()
# Reorder the layout of the data for the ANN
imagestrip(image::Matrix{<:Gray}) = Float32．(reshape(image, :))
X = hcat(imagestrip．(imgs)．．．)
# Target output． What digit each image represents．
labels = MNIST．labels()
Y = onehotbatch(labels, 0:9)
# Defining the model (a neural network)
m = Chain(
Dense(28*28, 32, relu),
Dense(32, 10),
softmax)

loss(x, y) = crossentropy(m(x), y)
dataset = repeated((X, Y), 200)
opt = ADAM()
evalcb = () -> @show(loss(X, Y))
# Perform training on data
Flux．train!(loss, params(m), dataset, opt, cb = throttle(evalcb, 10))
探索輸入數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)預(yù)處理通常是數(shù)據(jù)科學(xué)中最大的工作之一。通常情況下,數(shù)據(jù)的組織或格式化方式與將其輸入算法所需的方式不同。我們首先將MNIST數(shù)據(jù)集加載為60000個(gè)28x28像素的灰度圖像:imgs = MNIST．images()
現(xiàn)在,如果你這樣處理數(shù)據(jù),你可能不知道輸出的數(shù)據(jù)是怎么樣子的,但使用Julia研究,我們只需檢查一下:julia> size(imgs)
(60000,)
輸出說明了imgs是一個(gè)包含60000個(gè)元素的一維數(shù)組。但這些元素是什么?julia> eltype(imgs)
Array{Gray{FixedPointNumbers．Normed{UInt8,8}},2}
你可能看不懂,但我可以簡單地告訴你這是什么:julia> eltype(imgs) <: Matrix{T} where T <: Gray
true
這告訴我們imgs中的每個(gè)元素都是某種值矩陣,這些值屬于某種類型T,它是Gray類型的子類型。什么是Gray類型?我們可以在Julia在線文檔中查找:help?> Gray
 Gray is a grayscale object． You can extract its value with gray(c)．
如果我們想知道這些灰度值矩陣的維數(shù),則可以:julia> size(imgs[1])
(28, 28)
julia> size(imgs[2])
(28, 28)
這告訴我們它們的尺寸為28x28像素。我們可以通過簡單地繪制其中的一些圖來進(jìn)一步驗(yàn)證這一點(diǎn)。Julia的Plots庫使你可以繪制函數(shù)和圖像。julia> using Plots
julia> plot(imgs[2])
得出了下面的圖像,顯然看起來像一個(gè)數(shù)字:

但是,你可能會(huì)發(fā)現(xiàn)了解更多的數(shù)據(jù)看起來是更有用。我們可以很容易地一起繪制幾個(gè)圖像:imgplots = plot．(imgs[1:9])
plot(imgplots．．．)

現(xiàn)在我們知道了數(shù)據(jù)是什么樣的了。準(zhǔn)備輸入數(shù)據(jù)然而,我們不能像這樣將數(shù)據(jù)輸入到我們的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ANN),因?yàn)槊總�(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入必須是列向量,而不是矩陣。這是因?yàn)樯窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)期望一個(gè)矩陣作為輸入,矩陣中的每一列都是輸入。ANN所看到的三乘十矩陣對應(yīng)于十個(gè)不同的輸入,其中每個(gè)輸入包含三個(gè)不同的值或者更具體地說是三個(gè)不同的特征,因此,我們將28x28灰度圖像轉(zhuǎn)換為28x28=784的長像素帶。其次,我們的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)并不知道什么是灰度值,它是對浮點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行操作的,所以我們必須同時(shí)轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)的維度和元素類型。數(shù)組中的列和行數(shù)稱為其形狀。很多人提到了張量,雖然它并不完全精確,但它是一個(gè)涵蓋了標(biāo)量、向量、矩陣、立方體或任何等級的數(shù)組(基本上是數(shù)組的所有維度)的概念。在Julia中,我們可以使用reshape函數(shù)來改變數(shù)組的形狀。下面是一些你如何使用它的例子。這將創(chuàng)建一個(gè)包含四個(gè)元素的列向量A:julia> A = collect(1:4)
4-element Array{Int64,1}:
1
2
3
4
通過reshape我們把它變成一個(gè)二乘二的矩陣B:julia> B = reshape(A, (2, 2))
2×2 Array{Int64,2}:
1  3
2  4
矩陣可以再次轉(zhuǎn)換為列向量:julia> reshape(B, 4)
4-element Array{Int64,1}:
1
2
3
4
找出一個(gè)列向量到底有多少個(gè)元素是不切實(shí)際的,你可以讓Julia只通過寫來計(jì)算合適的長度。julia> reshape(B, :)
4-element Array{Int64,1}:
1
2
3
4
有了這些信息,應(yīng)該更容易看到imagestrip函數(shù)的實(shí)際功能了,它將28x28的灰度矩陣轉(zhuǎn)換為784個(gè)32位浮點(diǎn)值的列向量。imagestrip(image::Matrix{<:Gray}) = Float32．(reshape(image, :))
該．符號用于將函數(shù)應(yīng)用于數(shù)組的每個(gè)元素,因此Float32．(xs)與map(Float32, xs)是相同的。接下來,我們將imagestrip函數(shù)應(yīng)用于6萬張灰度圖像中的每一張,生成784x6000個(gè)輸入矩陣X。X = hcat(imagestrip．(imgs)．．．)
這是如何運(yùn)作的?可以想象為imagestrip．(imgs)將圖像轉(zhuǎn)換為單個(gè)輸入值的數(shù)組,例如[X?, X?, X?, ．．．, X?],其中n = 60,000,每個(gè)X?都是784個(gè)浮點(diǎn)值。使用splat運(yùn)算符．．．,我們將其轉(zhuǎn)換為所有這些列向量的水平連接,以產(chǎn)生模型輸入。X = hcat(X?, X?, X?, ．．．, X?)
如果要驗(yàn)證尺寸,則可以運(yùn)行size(X)。接下來,我們加載標(biāo)簽。labels = MNIST．labels()
標(biāo)簽是我們稱之為監(jiān)督學(xué)習(xí)中觀察的"答案"部分。在我們的任務(wù)中,標(biāo)簽是從0到9的數(shù)字。手繪數(shù)字的每一個(gè)圖像都應(yīng)歸類為十個(gè)不同的數(shù)字之一,例如,如果這是一個(gè)包含不同花卉品種的花瓣長度和花瓣寬度的虹膜數(shù)據(jù)集,那么該品種的名稱就是標(biāo)簽。X?代表我們所有的特征向量,用機(jī)器學(xué)習(xí)的術(shù)語來說,每個(gè)像素的灰度值都是一個(gè)特征。你可以將標(biāo)簽與我們繪制的圖像進(jìn)行比較。imgplots = plot．(imgs[1:9])
plot(imgplots．．．)
labels[1:9]
獨(dú)熱編碼每個(gè)圖像一個(gè)標(biāo)簽,則有60000個(gè)標(biāo)簽,然而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不能直接輸出標(biāo)簽。例如,如果你正試圖對貓和狗的圖像進(jìn)行分類,那么一個(gè)網(wǎng)絡(luò)不能輸出字符串“dog”或“cat”,因?yàn)樗�是使用浮點(diǎn)值的。如果標(biāo)簽是一個(gè)不一定有用的數(shù)字,例如如果輸出是一系列郵政編碼,那么將3000的郵政編碼視為1500的郵政編碼的兩倍是沒有意義的,同樣,當(dāng)使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)從圖像中預(yù)測數(shù)字時(shí),4的大小是2的兩倍并不重要,數(shù)字也可能是字母,因此它們的值不重要。我們在機(jī)器學(xué)習(xí)中處理這個(gè)問題的方法是使用所謂的獨(dú)熱編碼,這意味著,如果我們有標(biāo)簽A、B和C,并且我們想用獨(dú)熱編碼來表示它們,那么A是[1、0、0],B是[0、1、0],C是[0、0、1]。這看起來很浪費(fèi)空間,但在Julia one hot數(shù)組內(nèi)部,它只跟蹤元素的索引,并不保存所有的零。下面是一些正在使用的編碼示例:julia> Flux．onehot('B', ['A', 'B', 'C'])
3-element Flux．OneHotVector:
0
1
0
julia> Flux．onehot("foo", ["foo", "bar", "baz"])
3-element Flux．OneHotVector:
1
0
0
但是,我們不會(huì)使用onehot函數(shù),因?yàn)槲覀冋�在�?chuàng)建一批獨(dú)熱編碼標(biāo)簽,我們將把60000張圖片作為一個(gè)批次來處理。機(jī)器學(xué)習(xí)的批次指的是在我們模型(神經(jīng)網(wǎng)絡(luò))的權(quán)值或參數(shù)更新之前必須完成的最小樣本數(shù)量。Y = onehotbatch(labels, 0:9)
這將創(chuàng)建目標(biāo)輸出。在理想情況下,模型(X)==Y,但在現(xiàn)實(shí)中,即使經(jīng)過模型的訓(xùn)練,也會(huì)有一些偏差。我們已經(jīng)討論完數(shù)據(jù)準(zhǔn)備,現(xiàn)在讓我們用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來構(gòu)造我們的模型。構(gòu)造神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型模型是真實(shí)世界的簡化表示,就像我們可以建立簡化的物理模型一樣,我們也可以用數(shù)學(xué)或代碼來創(chuàng)建物理世界的模型,現(xiàn)實(shí)中存在許多這樣的數(shù)學(xué)模型。例如,統(tǒng)計(jì)模型可以使用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來模擬人們一天中是如何到達(dá)商店的。一般來說,人們會(huì)以一種遵循特定概率分布的方式到達(dá)。在我們的例子中,我們試圖用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來模擬現(xiàn)實(shí)世界中的一些東西,當(dāng)然,這只是對現(xiàn)實(shí)世界的一種近似。當(dāng)我們建立一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí),我們有很多可以玩的東西。網(wǎng)絡(luò)是由多個(gè)層連接而成的,每一層通常都有一個(gè)激活函數(shù)。建立一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的挑戰(zhàn)是選擇合適的層和激活函數(shù),并決定每層應(yīng)該有多少個(gè)節(jié)點(diǎn)。我們的模型非常簡單,定義如下:m = Chain(
 Dense(28^2, 32, relu),
 Dense(32, 10),
 softmax)
這是一個(gè)三層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。Chain用于將各個(gè)層連接在一起。第一層Dense(28^2, 32, relu)有784(28x28)個(gè)輸入節(jié)點(diǎn),對應(yīng)于每個(gè)圖像中的像素?cái)?shù)。它使用校正線性單元(ReLU)函數(shù)作為激活函數(shù)。在經(jīng)典的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)文獻(xiàn)中,通常會(huì)介紹sigmoid和tanh。relu等激活函數(shù),這些激活函數(shù)在大多數(shù)情況下都工作得很好,包括圖像的分類。下一層是我們的隱藏層,它接受32個(gè)輸入,因?yàn)榍耙粚佑?2個(gè)輸出,隱藏節(jié)點(diǎn)的數(shù)量沒有明確的對錯(cuò)選擇。但輸出的數(shù)量根據(jù)不同任務(wù)是不一樣的,因?yàn)槲覀兿Ｍ�每個(gè)數(shù)字有一個(gè)輸出,這也就是“獨(dú)熱編碼”發(fā)揮作用的地方。Softmax函數(shù)最后一層,是softmax函數(shù),它以前一層的輸出的矩陣作為輸入,并沿著每一列進(jìn)行歸一化。標(biāo)準(zhǔn)化將60000列中的每一列轉(zhuǎn)換為概率分布。那到底是什么意思?概率是0到1之間的值,0表示事件永遠(yuǎn)不會(huì)發(fā)生,1是肯定會(huì)發(fā)生。與min-max歸一化一樣,softmax將所有輸入歸一化為0到1之間的值,但是與min max不同的是它會(huì)確保所有值的和為一。這需要一些例子來說明。假設(shè)我創(chuàng)建了10個(gè)從1到10的隨機(jī)值,我們可以放任意范圍和任意數(shù)量的值。julia> ys = rand(1:10, 10)
10-element Array{Int64,1}:
 9
 6
10
 5
10
 2
 6
 6
 7
 9
現(xiàn)在讓我們使用不同的歸一化函數(shù)歸一化這個(gè)數(shù)組,我們將使用來自LinearAlgebra模塊的normalize,因?yàn)樗�與Julia捆綁在一起。但首先使用softmax:julia> softmax(ys)
10-element Array{Float64,1}:
0．12919082661651196  
0．006432032517257137  
0．3511770763952676    
0．002366212528045101  
0．3511770763952676    
0．00011780678490667763
0．006432032517257137  
0．006432032517257137  
0．017484077111717768  
0．12919082661651196
如你所見,所有值都在0到1之間�，F(xiàn)在看一下如果我們把它們加起來會(huì)發(fā)生什么:julia> sum(softmax(ys))
0．9999999999999999
它們基本上變成了1。現(xiàn)在將其與normalize的功能進(jìn)行對比:julia> using LinearAlgebra
julia> normalize(ys)
10-element Array{Float64,1}:
0．38446094597254243
0．25630729731502827
0．4271788288583805
0．21358941442919024
0．4271788288583805
0．0854357657716761
0．25630729731502827
0．25630729731502827
0．2990251802008663
0．38446094597254243
julia> sum(normalize(ys))
2．9902518020086633
julia> norm(normalize(ys))
1．0
julia> norm(softmax(ys))
0．52959100847191
如果對用normalize歸一化的值求和,它們只會(huì)得到一些隨機(jī)值,然而如果我們把結(jié)果反饋給norm,我們得到的結(jié)果正好是1．0。不同之處在于,normalize將向量中的值進(jìn)行了歸一化,以便它們可以表示單位向量,即長度正好為一的向量。norm給出向量的大小。相比之下,softmax不會(huì)將這些值視為向量,而是將其視為概率分布,每個(gè)元素表示輸入圖像為該數(shù)字的概率。假設(shè)我們有A,B和C的圖像作為輸入,如果你從softmax得到一個(gè)輸出值是[0．1,0．7,0．2],那么輸入圖像有10%的可能性是A的圖形,有70%的可能性是B的圖形,最后有20%的可能性是C的圖形。這就是為什么我們希望softmax作為最后一層的原因。用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不能絕對確定輸入圖像是什么,但是我們可以給出一個(gè)概率分布,它表示更有可能是哪個(gè)數(shù)字。定義損失函數(shù)當(dāng)訓(xùn)練我們的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(模型)給出準(zhǔn)確的預(yù)測時(shí),我們需要定義人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ANN)的評估指標(biāo)。為此,我們使用所謂的損失函數(shù)。損失函數(shù)有很多名字,20年前當(dāng)我被教授神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí),我們曾稱之為誤差函數(shù),也有人稱之為成本函數(shù)。然而,歸根結(jié)底,這是一種表達(dá)我們的預(yù)測與現(xiàn)實(shí)相比有多正確的方式。loss(x, y) = crossentropy(m(x), y)
訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)際上是最小化這個(gè)函數(shù)的輸出,所以這是一個(gè)優(yōu)化問題。訓(xùn)練是一個(gè)反復(fù)調(diào)整模型中參數(shù)(權(quán)重)的過程,直到損失函數(shù)的輸出變低,或者換句話說,直到我們的預(yù)測誤差變低。均方誤差函數(shù)(MSE)是計(jì)算預(yù)測錯(cuò)誤程度的經(jīng)典方法,這就意味著取差的平方,然而,MSE更適合于線性回歸(將一條或多條直線擬合到某些觀測值)。在這種情況下,我們改用交叉熵函數(shù)。當(dāng)你的最后一層是softmax,進(jìn)行分類而不是線性回歸時(shí),這是我比較推薦的選擇。指定Epoch在機(jī)器學(xué)習(xí)術(shù)語中,Epoch是訓(xùn)練算法進(jìn)行一次完整的迭代,換句話說:一個(gè)Epoch處理一個(gè)批次并更新權(quán)重因此,如果我們使用10個(gè)Epoch來進(jìn)行訓(xùn)練,那么模型的參數(shù)/權(quán)重將更新/調(diào)整10次。為了得到200個(gè)Epoch,我們使用repeat重復(fù)我們的批處理200次。它實(shí)際上不會(huì)重復(fù)我們的數(shù)據(jù)200次,它只是用迭代器創(chuàng)建了這樣的錯(cuò)覺。dataset = repeated((X, Y), 200)
在數(shù)據(jù)集中,我們得到的數(shù)組如下:dataset = [(X1, Y1), (X2, Y2), ．．．, (X200, Y200)]
優(yōu)化器最常見和最著名的訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)策略是梯度下降算法,這是由Julia中的Descent類型提供的。然而,在我們的例子中,當(dāng)我們處理大量帶有相當(dāng)數(shù)量噪聲的數(shù)據(jù)時(shí),建議改用ADAM優(yōu)化器,這就是所謂的隨機(jī)優(yōu)化。opt = ADAM()
進(jìn)行訓(xùn)練我們終于可以進(jìn)行訓(xùn)練了,但我們希望在訓(xùn)練進(jìn)行的過程中得到一些反饋。我們定義了一個(gè)回調(diào)函數(shù),在每次迭代(epoch)時(shí),它將輸出loss函數(shù)的值,從而顯示錯(cuò)誤。我們希望每次迭代時(shí)都能看到這個(gè)錯(cuò)誤。evalcb = () -> @show(loss(X, Y))
觀察錯(cuò)誤發(fā)展的一個(gè)有用的地方是,你可以看到是否有振蕩。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)過快地朝著最低值過渡,會(huì)導(dǎo)致它朝相反的方向移動(dòng),如果速度太快,則會(huì)向相反的方向超調(diào),振蕩會(huì)變得更加劇烈,直到誤差變?yōu)闊o窮大。這是一個(gè)切換優(yōu)化算法或降低學(xué)習(xí)率的提示。不管怎樣,這就是你訓(xùn)練的方式。注意,回調(diào)是可選的:Flux．train!(loss, params(m), dataset, opt, cb = throttle(evalcb, 10))
評價(jià)模型預(yù)測精度經(jīng)過訓(xùn)練后,我們可以測試模型在預(yù)測方面的表現(xiàn)。我們定義了這樣一個(gè)函數(shù):accuracy(x, y) = mean(onecold((m(x))) ．== onecold(y))
然后我們用輸入數(shù)據(jù)和標(biāo)簽作為輸入?yún)��?shù)來調(diào)用它:@show accuracy(X, Y)
至于什么是onecold?在某種程度上,它與onehot實(shí)現(xiàn)的效果是相反的。我們的輸出m(X)都是概率分布,而我們的目標(biāo)Y都是獨(dú)熱向量。它們不能直接比較,所以我們需要使用onecold來做一個(gè)轉(zhuǎn)換。給定概率分布,它選擇最可能的候選:julia> onecold([0．1, 0．7, 0．2])
2
julia> onecold([0．9, 0．05, 0．05])
1
因此,使用onecold(m(X))我們可以得到預(yù)測的標(biāo)簽,這可以與實(shí)際的標(biāo)簽onecold(y)進(jìn)行比較。用測試數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型到目前為止,我們只根據(jù)我們使用的訓(xùn)練數(shù)據(jù)來驗(yàn)證了我們的模型,然而,如果該模型不適用于新的數(shù)據(jù),它將是完全無用的。因此,在訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)時(shí),我們通常將數(shù)據(jù)分為訓(xùn)練數(shù)據(jù)和測試數(shù)據(jù)。測試數(shù)據(jù)不是訓(xùn)練的一部分,只有在訓(xùn)練完成后才能進(jìn)行測試。tX = hcat(float．(reshape．(MNIST．images(:test), :))．．．)
tY = onehotbatch(MNIST．labels(:test), 0:9)
@show accuracy(tX, tY)
最后我希望這能幫助你理解建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的過程。太多的教程傾向于跳過向初學(xué)者解釋的內(nèi)容,從而所有的新概念都會(huì)很快變得令人困惑。我希望這為初學(xué)者在進(jìn)一步探索機(jī)器學(xué)習(xí)之前提供了一個(gè)起點(diǎn),特別是基于Julia的機(jī)器學(xué)習(xí),因?yàn)槲艺J(rèn)為Julia有著光明的未來。參考鏈接:https://medium．com/better-programming/handwriting-recognition-using-an-artificial-neural-network-78060d2a7963