經(jīng)過圖像處理后，每個(gè)循環(huán)群

將變化為

：

命題3里，我們假設(shè)T和J具備交換律，那么我們可以將上面的公式改寫，并得到

：

原分布D不具備視覺手性意味著：每個(gè)循環(huán)群

中的元素都有相同的概率出現(xiàn)。因此，由于經(jīng)過J圖像處理后循環(huán)群變?yōu)榱?/p>

，我們只需要證明以下運(yùn)算為同態(tài)（homomorphism）：

因?yàn)閷?duì)于同態(tài)來說，根據(jù)第一同構(gòu)基本定理（First Isomorphism Theorm）可以推理出每個(gè)輸出對(duì)應(yīng)著相同數(shù)量的輸入。而因?yàn)槊總�(gè)循環(huán)群中單個(gè)輸入

在原分布D上有著相同的概率，意味著每個(gè)輸出

也具備相同的概率，也意味著

不具備視覺手性。證明同態(tài)的步驟如下：

以上為命題3的證明。通過命題3，我們知道了J和T的交換律與處理后圖像分布的視覺手性的關(guān)系。那么，只需要通過檢查交換律，我們便可以判斷圖像處理是否可能產(chǎn)生新的視覺手性。檢查的方式也很簡單，對(duì)于任意圖片x，我們只需要計(jì)算其交換殘差（commutative residual）是否為0：

下圖形象的解釋了交換殘差的計(jì)算過程：

文中使用去馬賽克、JPEG壓縮、以及兩者結(jié)合這三種圖像處理方法，對(duì)于鏡像翻轉(zhuǎn)這一圖片變換方式分別計(jì)算了交換殘差。

當(dāng)去馬賽克處理的圖像寬度為奇數(shù)時(shí)，處理后的圖像分布可能具備視覺手性；反之如果為偶數(shù)，則不具備視覺手性。當(dāng)JPEG壓縮的圖片不為16整除時(shí)，處理后的圖像分布可能具備視覺手性，反之則不具備。當(dāng)兩者結(jié)合后，處理后的圖片一定具備視覺手性：

作者為了驗(yàn)證這些結(jié)論，在原本不具備視覺手性的人工數(shù)據(jù)集（高斯分布生成的隨機(jī)圖片）上，對(duì)不同寬度的圖片分別進(jìn)行了這三種處理，并使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了自監(jiān)督學(xué)習(xí)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合這一測(cè)試的預(yù)期。因?yàn)榇罅炕ヂ?lián)網(wǎng)圖片都經(jīng)過了去馬賽克和JPEG壓縮，這一結(jié)論意味著數(shù)字圖像處理所帶來的視覺手性現(xiàn)象在互聯(lián)網(wǎng)圖片中廣泛存在。

當(dāng)加入隨機(jī)剪裁（random cropping）后，我們還能得到這一結(jié)論么？作者的答復(fù)是肯定的。

為了理解隨機(jī)剪裁對(duì)于視覺手性的影響，作者提到了兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。

第一點(diǎn)：命題三中只討論了單種J的情況。而隨機(jī)剪裁可以被視為許多種J（例如

是向右平移一格并剪裁，

是向右平移兩個(gè)并剪裁）的結(jié)合，每一種有相同概率出現(xiàn)。

第二點(diǎn)：命題三中并沒有討論T和J不具備交換律的情況。例如當(dāng)J是向?qū)�圖片右平移十個(gè)像素并進(jìn)行一次中心剪裁時(shí)，T和J無法具備交換律。在這種情況下，新的圖像分布并不一定具備視覺手性。

對(duì)于第一點(diǎn)來說，假設(shè)我們有多種不同的J（例如

，

，

），而他們分別與T具備交換律時(shí)，我們可以用以下公式表達(dá)新的圖像分布：