3．1 趨勢模型

首先是趨勢模型 g（t）。

在 Prophet 算法里，趨勢模型有兩個選擇，一個是基于飽和增長模型 （saturating growth model），另一個是基于分段線性函數(shù) （piecewise linear model）。

3．1．1 飽和增長模型

Prophet 使用如下形式的飽和增長模型：

其中，C 為承載能力（如可上網(wǎng)人數(shù)、可處理事件等），k 為增長率，m 為偏移參數(shù)。

當 C＝1，k＝1，m＝0 時就是大家常見的 Sigmoid 函數(shù)的形式。

在現(xiàn)實生活中，承載能力、增長率和偏移參數(shù)并不是一成不變的，所以作者將其轉(zhuǎn)換為隨時間變化的函數(shù)：

除此之外，現(xiàn)實中的時間序列其走勢也不是不變的，在某些特定的時候會發(fā)生改變，這就需要用戶去研究變點檢測 （change points）。

在 Prophet 中，變點的位置是需要設(shè)置的，每一段的趨勢和走勢也會隨著變點的設(shè)置而改變。目前有兩種方法去設(shè)置變點，一種是人工指定的方式，另一種是通過算法來自動選擇。

假設(shè)現(xiàn)在有 S 個變點，變點的時間戳為

，

，

每個變點都會出現(xiàn)增長率的變化  。如果初始增長率為 k 的話，那么時間戳 t 上的增長率為：

其中

為指示函數(shù)：

一旦初始增長率 k 確定，那么偏移參數(shù) m 也會隨之確定。

既然是分段函數(shù)，我們也需要處理好分段邊界：

所以分段邏輯回歸模型為：

此外我們含有一個重要參數(shù) C（t），該參數(shù)需要用戶根據(jù)市場規(guī)模來進行調(diào)整。

3．1．2 分段線性模型我們再來看一下分段線性函數(shù)，根據(jù)

給出基本模型：

其中 k 表示增長率，

表示增長率的變化量，m 為偏移參數(shù)，

值得注意的是，分段線性函數(shù)并沒有表示承載能力的

參數(shù)。

3．1．3 序列中的變點變點可以由分析師人工設(shè)定，相應(yīng)的參數(shù)有變點的位置、個數(shù)、增長的變化率。

當然，也可以根據(jù)候選對象進行自動選擇。自動選擇主要是利用了先驗知識

，參數(shù)

控制模型變換的靈活性，當

趨于 0 時，增長函數(shù)將蛻變?yōu)?Logistic 函數(shù)或者線性函數(shù)。默認情況下，Prophet 會在時間序列前 80％ 的范圍里，通過等份的方法找到 25 個變點，而變點的增長率滿足 Laplace 分布

3．1．4 趨勢預(yù)測現(xiàn)在，歷史 T 個數(shù)據(jù)點中有 S 個變點，且對應(yīng)的增長率的變化量服從

，但預(yù)測未來也需要考慮未來的變點位置。

作者通過歷史數(shù)據(jù)推斷出方差，從而替換

來模擬未來的速率變化。在一個完全貝葉斯框架下，可以通過先驗知識來獲得它的后驗概率，或者我們也可以用最大似然估計來評估速率尺度參數(shù)：

。

未來變點位置將通過隨機抽樣的方法使變點的平均頻率與歷史數(shù)據(jù)相匹配：

因此，我們保證了未來和歷史具有相同平均頻率和變點變化率，從而衡量預(yù)測未來趨勢中的不確定性，一旦從數(shù)據(jù)中推斷出了 λ ，我們便可以使用生成模型來模擬未來可能的趨勢，并使用模擬的趨勢來計算不確定區(qū)間。

3．2 季節(jié)性模型

季節(jié)性（這里指周期性）是大部分時間序列都會考慮其中的，因為時間序列通常會隨著天、周、月、年等的變化而呈現(xiàn)周期性變化。為了擬合和預(yù)測這些數(shù)據(jù)，作者制定了季節(jié)模型。

作者利用傅立葉級數(shù)來提供一個靈活的周期性影響：

其中，P 為周期（一年 P＝365．25，一個星期 P＝7）；N 為經(jīng)驗所得（年 N＝10，周N＝3）。

我們另傅立葉級數(shù)的參數(shù)為

，則可以用這個來構(gòu)造一個季節(jié)性向量矩陣。

例如當 N＝10 時：

季節(jié)項表示為：

作者用標準化

對參數(shù)

進行初始化， σ 為可設(shè)置參數(shù)，值越大，季節(jié)效應(yīng)越明顯；值越小，季節(jié)效應(yīng)越不明顯。